• 时长: 90 分钟
  • 教学目标:
    • 复习 math 模块的基本使用 (import math, math.sqrt, math.pow, math.pi)。
    • 学习 math 模块中更多实用的数学函数和常量（例如：math.ceil, math.floor, math.fabs）。
    • 理解“算法”在解决问题中的概念（即：解决问题的步骤和方法）。
    • 练习使用列表和字典来组织需要进行数学计算的数据。
    • 掌握如何结合 math 模块、数据结构（列表、字典）、循环、条件判断和函数来解决需要多步骤计算的问题。
    • 提高分析问题、分解问题、设计解决步骤（算法）的能力。

课程内容

1. 复习与引入 (10 分钟)

  • 复习: 快速回顾我们之前学过的模块是什么（别人写好的代码，我们可以导入使用），以及 datetime 和 os 模块的一些简单功能。回顾列表和字典这两种数据结构如何存储多个数据。
  • 提出问题: 老师提问：“上次我们用模块让程序知道时间和日期，或者操作文件和文件夹。Python 还有很多其他的‘工具箱’模块。比如，如果我想计算一个数的平方根怎么办？我想精确地使用圆周率怎么办？” “我们学了列表和字典来存数据，学了循环和判断来处理数据。但面对一个稍微复杂一点的问题，比如计算几个点的距离，或者分析一组温度数据，怎么一步一步地思考和写代码呢？这就要用到‘算法’了。”
  • 引出新知识: 今天我们深入学习一个非常重要的数学“工具箱”—— math 模块，它提供了很多数学计算的功能。同时，我们会学习如何把数学计算、数据结构和我们学过的控制结构结合起来，解决一些实际问题。解决问题的步骤，就是我们说的“算法”。

2. 更深入地使用 math 模块 (20 分钟)

  • 复习 import math: 首先要导入 math 模块才能使用里面的功能。 
    import math
  • 复习常用功能:
    • 平方根：math.sqrt(数字) 
      print(math.sqrt(9)) # 结果是 3.0
print(math.sqrt(2)) # 结果是 1.414...
    • 幂运算：math.pow(底数, 指数) （和 ** 类似，但结果总是浮点数） 
      print(math.pow(2, 3)) # 结果是 8.0
print(math.pow(5, 2)) # 结果是 25.0
    • 圆周率：math.pi （一个非常精确的圆周率值） 
      radius = 5
area = math.pi * math.pow(radius, 2) # 计算圆的面积
print("圆的面积是:", area)
  • 学习新的实用函数:
    • 向上取整：math.ceil(数字) （返回大于或等于该数字的最小整数） 
      print(math.ceil(3.14)) # 结果是 4
print(math.ceil(3.9))  # 结果是 4
print(math.ceil(3.0))  # 结果是 3
    • 向下取整：math.floor(数字) （返回小于或等于该数字的最大整数） 
      print(math.floor(3.14)) # 结果是 3
print(math.floor(3.9))  # 结果是 3
print(math.floor(3.0))  # 结果是 3
    • 绝对值：math.fabs(数字) （返回数字的绝对值，结果总是浮点数） 
      print(math.fabs(-10)) # 结果是 10.0
print(math.fabs(10))  # 结果是 10.0
  • 动手实践: 学生尝试使用 math.ceil(), math.floor(), math.fabs() 处理一些数字，观察结果。 使用 math.pi 计算一个不同半径的圆的周长（周长 = 2 * π * 半径）。

3. 用数据结构组织数学问题中的数据 (15 分钟)

  • 为什么要组织数据: 在解决实际问题时，我们经常需要处理一组相关的数字或信息。把它们存到列表或字典里，可以更方便地进行计算和管理。
  • 列表的应用: 列表很适合存储一系列同类的数据，比如：
    • 一组测量值：measurements = [1.5, 2.3, 1.8, 2.0]
    • 一个数列：numbers = [4, 9, 16, 25]
  • 字典的应用: 字典很适合存储有“标签”或有关联的数据，比如：
    • 一个点的坐标：point_a = {'x': 3, 'y': 4}
    • 物体的属性：item = {'weight': 50, 'height': 1.2}
  • 回顾访问方式: 复习如何通过索引访问列表元素 列表[索引]，如何通过键访问字典值 字典[键] 或 字典.get(键)，以及如何用 for 循环遍历列表和字典的键值对。

4. 解决问题：思考“步骤” (算法初步) (25 分钟)

  • 什么是算法? 简单来说，算法就是解决一个问题的详细步骤或方法。就像做蛋糕有步骤、搭积木有步骤一样，编程解决问题也需要一步一步来。
  • 问题示例：计算平面上两点之间的距离。 假设我们知道两个点 A 和 B 的坐标 (x1, y1) 和 (x2, y2)。
    • 数学公式: 距离 = √((x2 – x1)² + (y2 – y1)²)
    • 思考步骤 (算法):
      1. 确定点 A 和点 B 的坐标值 (x1, y1, x2, y2)。
      2. 计算 x 方向的差值 dx = x2 - x1。
      3. 计算 y 方向的差值 dy = y2 - y1。
      4. 计算 dx 的平方 dx_squared = dx * dx 或 math.pow(dx, 2)。
      5. 计算 dy 的平方 dy_squared = dy * dy 或 math.pow(dy, 2)。
      6. 将 dx 的平方和 dy 的平方相加 sum_of_squares = dx_squared + dy_squared。
      7. 计算 sum_of_squares 的平方根 distance = math.sqrt(sum_of_squares)。
      8. 打印结果 distance。
  • 用代码实现这个算法: 我们将使用函数把这段计算逻辑封装起来，使用字典来存储点的坐标，使用 math 模块进行计算。 
    import math

# 定义一个函数来计算两点距离
# 参数 p1 和 p2 是字典，例如 {'x': 3, 'y': 4}
def calculate_distance(p1, p2):
    # 1. 获取坐标值
    x1 = p1.get('x', 0) # 使用 .get() 更安全，如果键不存在默认给 0
    y1 = p1.get('y', 0)
    x2 = p2.get('x', 0)
    y2 = p2.get('y', 0)

    # 2. 计算差值
    dx = x2 - x1
    dy = y2 - y1

    # 3 & 4. 计算差值的平方
    dx_squared = math.pow(dx, 2)
    dy_squared = math.pow(dy, 2)

    # 5. 计算平方和
    sum_of_squares = dx_squared + dy_squared

    # 6. 计算平方根 (距离)
    distance = math.sqrt(sum_of_squares)

    # 返回距离结果
    return distance

# --- 主程序部分 ---
# 定义两个点的坐标 (使用字典)
point_a = {'x': 3, 'y': 4}
point_b = {'x': 6, 'y': 8}

# 调用函数计算距离
dist_ab = calculate_distance(point_a, point_b)

# 打印结果
print(f"点 A 的坐标是 {point_a}")
print(f"点 B 的坐标是 {point_b}")
print(f"点 A 和点 B 之间的距离是: {dist_ab}") # 结果应该是 5.0

# 尝试计算其他点之间的距离
point_c = {'x': 0, 'y': 0}
point_d = {'x': 5, 'y': 0}
dist_cd = calculate_distance(point_c, point_d)
print(f"点 C 和点 D 之间的距离是: {dist_cd}") # 结果应该是 5.0
  • 引导与讨论: 带领学生一步步理解算法的每个步骤如何转换为代码。强调如何使用字典来组织点的坐标，如何使用 math 模块，以及如何用函数把这段逻辑打包。

5. 解决问题：结合数据结构、循环和数学 (15 分钟)

  • 问题示例：计算列表中所有大于 10 的数字的平方根的平均值。
    • 思考步骤 (算法):
      1. 准备一个列表，里面有一些数字。
      2. 初始化一个变量来累加符合条件的数字的平方根的总和，初始值为 0。
      3. 初始化一个变量来计数符合条件的数字有多少个，初始值为 0。
      4. 遍历列表中的每一个数字。
      5. 对于每个数字，判断它是否大于 10。
      6. 如果数字大于 10：
        • 计算这个数字的平方根（使用 math.sqrt）。
        • 将平方根加到总和变量里。
        • 计数器变量加一。
      7. 遍历结束后，检查计数器是否大于 0 （避免除以零）。
      8. 如果计数器大于 0，计算平均值：总和除以计数。
      9. 如果计数器等于 0，说明没有符合条件的数字，平均值可以设为 0 或者打印提示信息。
      10. 打印计算得到的平均值。
  • 用代码实现这个算法: 
    import math

# 定义一个函数来计算符合条件的数字的平方根的平均值
# 参数 numbers_list 是数字列表，threshold 是阈值（比如 10）
def average_sqrt_of_filtered_numbers(numbers_list, threshold):
    sum_of_sqrt = 0     # 初始化平方根总和
    count_filtered = 0  # 初始化符合条件的数字计数

    # 遍历列表中的每个数字
    for num in numbers_list:
        # 判断数字是否大于阈值
        if num > threshold:
            # 计算平方根（先检查数字是否非负，虽然这个例子假定数字是正的）
            if num >= 0:
                sqrt_val = math.sqrt(num)
                sum_of_sqrt = sum_of_sqrt + sqrt_val # 累加平方根
                count_filtered = count_filtered + 1  # 计数加一
            # else: # 如果数字小于0，平方根是复数，这里忽略或者特殊处理

    # 计算平均值
    average = 0.0 # 默认平均值为 0.0
    if count_filtered > 0: # 避免除以零
        average = sum_of_sqrt / count_filtered

    # 返回平均值
    return average

# --- 主程序部分 ---
my_numbers = [15, 4, 20, 8, 12, 5, 25]
filter_threshold = 10

# 调用函数计算平均值
avg = average_sqrt_of_filtered_numbers(my_numbers, filter_threshold)

# 打印结果
print(f"数字列表: {my_numbers}")
print(f"只计算大于 {filter_threshold} 的数字的平方根的平均值")
print(f"计算结果: {avg:.2f}") # 格式化输出两位小数
  • 引导与讨论: 带领学生理解如何用循环遍历列表，用条件判断进行筛选，用累加器计算总和和个数，最后计算平均值。强调这是把多种编程结构组合起来解决问题。

6. 课堂练习 (15 分钟)

让学生独立完成以下练习：

  • 练习 1: 编写一个程序，计算并打印一个直角三角形斜边的长度。让用户输入两条直角边的长度（可能是小数）。斜边长度公式：sqrt(a² + b²)。（提示：使用 math.sqrt 和 math.pow 或 **）。 
    import math
# TODO: 获取用户输入的直角边 a 和 b 的长度 (转换为浮点数)
# TODO: 计算斜边长度
# TODO: 打印结果
  • 练习 2: 编写一个程序，有一个数字列表 temperatures = [25.5, 26.0, 24.8, 27.1, 23.9]。计算并打印列表中所有温度的平均值和最高温度。（提示：使用 sum() 和 len() 计算平均值，使用 max() 找出最高温度）。
  • 练习 3: 编写一个程序，有一个商品字典 items = {"apple": 3.5, "banana": 2.0, "orange": 4.0, "grape": 6.0}。找出并打印出价格低于 3.0 元的商品名称和价格。

7. 总结与提问 (5 分钟)

  • 回顾: 回顾本节课内容：math 模块的更多实用功能 (ceil, floor, fabs)，如何用列表和字典组织数学问题的数据，解决问题时的“算法”概念（步骤），以及如何把 math 模块、数据结构、循环、条件判断和函数结合起来解决综合问题。
  • 提问:
    • math.ceil(4.1) 和 math.floor(4.9) 的结果分别是多少？
    • 计算一个负数的绝对值用什么函数？
    • 在解决两点距离问题时，我们用字典存坐标有什么好处？
    • 在解决平均平方根问题时，我们为什么要用循环和条件判断？
    • “算法”简单来说是什么？
  • 答疑: 回答学生问题。

8. 布置课后作业 (5 分钟)

  • 作业 1: 编写一个函数 calculate_cylinder_volume(radius, height)，接收圆柱体的半径和高作为参数，计算并返回圆柱体的体积。（体积公式：π * 半径² * 高）。在主程序中调用函数并打印结果。
  • 作业 2: 编写一个程序，有一个数字列表 nums = [1, -2, 3, -4, 5, -6]。创建一个新的列表，将原列表中所有数字的绝对值添加到新列表中，并打印新列表。（提示：遍历原列表，使用 math.fabs() 计算绝对值，添加到新列表）。
  • 作业 3: 编写一个程序，有一个学生分数字典 grades = {"小明": 75, "小红": 92, "小刚": 60, "小丽": 88, "小强": 50}。找出并打印出分数最高的学生的名字和分数。（提示：遍历字典的 items，比较分数，记录最高分和对应的名字）。
  • 作业 4: (选做) 编写一个程序，有一个数字列表。找出列表中所有能被 3 整除的数字，计算它们的总和。找出列表中所有能被 5 整除的数字，计算它们的总和。最后打印两个总和。
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